math #3: SpongeBob's Imagination (Bilangan Imajiner)

(Ini adalah postingan saya yang ketiga kalinya setelah dengan judul yang sama terhapus sebelum-sebelumnya. Semoga yang ini aman.)

Imajinasi

Apa yang terlintas dipikiran jika mendengar kata 'imajinasi'? Sebelum kita menelusuri lebih jauh, sebaiknya kita simak dahulu video yang sangat menginspirasi berikut ini:

Hahahahahahaha..

Video diatas adalah cuplikan dari salah satu episode favorit saya yang berjudul Idiot Box. Seperti biasa, SpongeBob dan Patrick melakukan hal-hal gila yang membuat Squidwart merasa terganggu. Kali ini mereka menggunakan kotak bekas TV sebagai tempat berimajinasi. Di dalam episode ini SpongeBob memberikan definisi imajinasi baginya:

• SpongeBob: Squidward, we don't need a television. Not as long as we have our… [makes a rainbow with his hands] …imagination!
• Squidward: Wow, I never thought of it that way. That's really something. Can I have your TV?
• SpongeBob: With… [makes a rainbow with his hands] …imagination, I can be anything I want! A pirate! [curls his finger in a hook shape] Arr! A football player! [stands in a football player pose] Hut!
• Patrick: A starfish!
• Squidward: Patrick, you're already a starfish.
• Patrick: See, Squidward? It works! You try! 

sumber: http://spongebob.wikia.com

Selanjutnya, SpongeBob dan Patrick berimajinasi sesuai dengan yang ia definisikan "I can be antyhting I want" dengan kotaknya. Kurang lebih begitulah kita mengartikan imajinasi sehari-hari. Bahkan kebanyakan kita ketika membaca "imajinasi" meniru cara SpongeBob sambil membuat pelangi khayalan (jangan berpikiran ke pelangi satu lagi). Lalu bagaimana maetamtika menganggap imajinasi tersebut?

***

Di postingan-postingan sebelum ini saya memberi judul yang hampir sama yakni Counting Stars dan More Than Counting Stars. Alasannya kurang lebih karena bilangan yang dibahas masing-masing postingan dapat dinyatakan dalam suatu ukuran panjang. Kita dapat dengan mudah membuat suatu contoh fisik yang menggambarkan bilangan-bilangan rasional cukup menggunakan alat ukur panjang seperti meteran, lalu bagaimana dengan bilangan irasional?

Salah satu contoh bilangan irasional yang populer adalah √2. Jika kita membuat desimalnya maka akan muncul bilangan 1,414213562.... Apakah mungkin menggunakan meteran dengan tingkat ketelitian itu? Caranya cukup sederhana, yang menggunakan konsep teorama Phytagoras. Terlebih dahulu kita buat sisi yang saling tegak lurus masing-masing 1 satuan panjang, otomatis sisi hipotenusanya (sisi miring) berukuran √2 satuan panjang. Begitu juga untuk membuat bilangan irasional yang lain. 

Bilangan-bilangan rasional dan irasional yang dapat dinyatakan dalam ukuran panjang ini disebut bilangan riil (real number). Bilangan riil terkadang juga didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, yang dalam bentuk desimal inilah kita akan mengetahui posisi atau titik dari bilangan riil tersebut di garis bilangan. Nah, lalu bagaimana dengan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal apalagi dinyatakan melalui suatu ukuran panjang?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita harus kembali ke masalalu (tentunya tanpa menggunakan mesin waktu) ketika para ilmuwan menoba mencari solusi dari x² + 1 = 0. Terlihat simple bagi kita, namun bagi mereka persamaan ini sangat-sangat membingungkan dan menjadi masalah selama beberapa abad. Jangankan solusi dari akar kuadrat negatif satu, bilangan-bilangan negatifpun masih dipertanyakan saat itu.Tapi itu dulu, bro. Dulu, ketika kalkulator Google belum ada. Mari kita tanyakan pada Google.

 

(hening sejenak). Yah, sepertinya masalah ini tetap menjadi masalah bagi kalkulator-kalkulator. Alasannya yang mungkin adalah karena √-1 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal dan bahkan √-1 ini memang benar-benar tidak ada atau setidaknya ada di dalam khayalan kita saja. Oleh karena kita bukan kalkulator, maka dibuatlah definisi dari bilangan imajiner (imaginary number) dengan simbol i melaui persamaan i² = -1 yang setara dengan i = √-1. Secara garis besar, bilangan imajiner dapat ditulis dengan cara berikut:

 

Jika bilangan ini tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ukuran panjang dan ukuran-ukuran lainnya, lalu apakah fungsi dari bilangan ini? Ternyata bilangan ini sangat berguna bagi sains, terutama di bidang fisika, seperti: mekanika kuantum, elektromagnet, dinamika fluida, pemetaan, pemrosesan sinyal, analisis getaran, dan teori kendali. Bilangan imajiner ini digunakan dalam persamaan dalam bentuk bilangan kompleks (complex number) dengan simbol C, bentuk umumnya adalah C = a + bi. Dengan kata lain bilangan kompleks adalah gabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa bilangan imajiner ini tidak memiliki nilai nyata seperti bilangan riil, namun 'nyata' dalam konsep. Bingung? Saya juga. Terakhir saya tutup blog ini dengan kutipan dari 3 tokoh terkenal:

"With iimaaaaginaatioooon, I can be anything I want! 

A pirate! Arr! 

A football player! Hut!"

                                                                                   -SpongeBob SquarePants-  

"A starfish!"

                                                              -Patrick Star-  

  "Patrick, you're already a starfish." 

                                                                            -Squidward Tentacles-  

"See, Squidward? It works! You try!"

                                                               -Patrick Star (again)-